Механические колебания и вибрации

Механические колебания и вибрации

 

Колебания, это многократное повторение одинаковых или почти одинаковых процессов. Сопутствуют многим природным процессам и явлениям, вызванным человеческой деятельностью — от простейших колебаний маятника до электромагнитных колебаний распространяющейся световой волны. Механические колебания — это периодически повторяющиеся движения, вращательные или возвратно поступательные. Это тепловые колебания атомов, биение сердца, колебания земли (моста) под ногами. В этой статье мы рассмотрим механические колебания и вибрации.

 

 

 

Определения

 

(Обозначения и единицы измерения в Табл. «Условные обозначения величин и единицы измерения», см. также DIN 1311).

 

Условные обозначения Условные обозначения

Колебания или вибрации

 

Синусоидальные колебанияТермины, применяемые для обозначения изме­нений какой-либо физической величины, более или менее регулярно повторяющихся во вре­мени и меняющихся по направлению (рис. «Синусоидальные колебания» ).

 

Период

 

Время Т, за которое совершается одно пол­ное колебание.

 

Амплитуда

 

Максимальное мгновенное (пиковое) значе­ние у, которого достигает какая-то физиче­ская величина, совершающая синусоидаль­ное колебание.

 

Частота

 

Число f колебаний, совершаемых в секунду. Это величина, обратная периоду колебаний Т.

 

Угловая частота

 

Угловая частота ω — это частота f умножен­ная на 2π.

 

Колебательная скорость частицы

 

Мгновенное значение переменной скоро­сти частицы v, движущейся в направлении колебания. Не следует путать со скоростью распространения бегущей волны (например, скоростью звука).

 

Ряды Фурье

 

Любую периодическую функцию, являющу­юся гладкой и кусочно-непрерывной, можно представить как совокупность синусоидаль­ных гармонических компонентов.

 

Биения

 

Биения происходят при наложении двух си­нусоидальных колебаний со схожей часто­той (f1≈f2). Они являются периодическими. Основная частота в этом случае равна раз­нице между частотами наложенных синусои­дальных колебаний.

 

Собственная частота

 

Собственная частота — это такая частота f при которой колебательная система коле­блется свободно после однократного возбуждения (собственные колебания). Она зависит только от характеристик самой колебатель­ной системы.

 

Демпфирование

 

Мера потерь энергии в колебательной си­стеме при превращении одной формы энер­гии в другую. Следствием является затухание колебаний (рис. «Свободные колебания и демпфирование» ).

 

Свободные колебания и демпфирование Простые колебательные системы

Декремент

 

Декремент D — это мера измерения степени демпфирования.

 

Логарифмический декремент

 

Логарифмический декремент Λ — это нату­ральный логарифм отношения двух экстре­мальных значений собственных затухающих колебаний, различающихся на один период.

 

Вынужденные колебания

 

Возникают под влиянием внешней физиче­ской силы (возбуждения). Частота вынуж­денных колебаний определяется частотой возбуждения.

 

Передаточная функция

 

Передаточная функция — это частное ампли­туды наблюдаемого состояния или выходной переменной и амплитуды возбуждения, на­ходящееся в зависимости от частоты возбуждения f или частоты цепи возбуждения ω.

 

Резонанс

 

Возникает, когда передаточная функция при­нимает очень большие значения, при этом частота возбудителя приближается к соб­ственной частоте.

 

Резонансная частота

 

Частота резонатора, при которой колеблю­щаяся величина достигает своего макси­мального значения. Если пренебречь демп­фированием, резонансная частота равна собственной частоте.

 

Ширина резонансного пика половинной энергии

 

Разница между частотами, при которой уровень переменной величины падает до 1/ √ 2 ≈ 0,707 максимального значения.

 

Острота резонанса

 

Острота резонанса Q (или добротность) — это максимальное значение передаточной функции.

 

Соединение колебательных систем

 

Если две колебательные системы соединя­ются механически, посредством массы или упругости, либо электрически, посредством индуктивности или емкости, между ними происходит периодический обмен энергией.

 

Волна

 

Волна-это пространственное и временное изменение состояния среды, которое можно представить как однонаправленное ее пере­мещение. Если материя может существовать в пространстве, не обязательно, что она мо­жет быть перемещена.

Существуют поперечные и продольные волны.

 

Интерференция

 

Принцип независимого наложения волн. В любой точке пространства мгновенное зна­чение результирующей волны равно сумме мгновенных значений каждой из волн.

 

Плоская волна

 

Плоская волна — это волна, у которой по­верхности одинаковой фазы (например, максимумы или фронты волны) формируют плоскость, т.е. которая распространяется по линейному закону. Фронты волны располо­жены вертикально по отношению к направ­лению распространения.

 

Стоячие волны

 

Стоячие волны возникают в результате ин­терференции между двумя волнами, движу­щимися в противоположных направлениях, с равными длиной, частотой и амплитудой. Амплитуда стоячей волны постоянна в любой точке; узлы колебаний (нулевая амплитуда) и пучности (максимальная амплитуда) со­впадают. Стоячие волны наблюдаются, на­пример, когда плоская волна отражается от плоской поверхности, расположенной верти­кально по отношению к направлению распро­странения волны.

 

Значение выпрямления

 

Значение выпрямления уrес — это среднее арифметическое значение, линейное во вре­мени, параметров периодического сигнала:

уrес = 1/T |у| dt

Для синусоидальной кривой:

уrес = 2 у/π ≈  0,637 у

 

Эффективное значение

 

Эффективное значение уeff  это временное виртуальное значение периодического сиг­нала. Оно также известно как среднеквадра­тическое значение:

уeff =  (1/T ∫ у2 dt)

Для синусоидальной кривой:

уeff у/ 2 ≈ 0,707

 

Коэффициент гармоник

 

Коэффициент гармоник — это соотношение уrес и уeff. Для синусоидальной кривой коэффициент гармоник равен уrес / уeff  ≈ 1,111

 

Амплитудный фактор

 

Для синусоидальной кривой амплитудный фактор равен: y/yeff = √ 2 ≈ 1,414.

 

Уравнения

 

Данные уравнения применимы к следующим простым колебаниям (таблица «Простые колебательные системы» ), если общие обозначения в формулах заменить соответству­ющими обозначениями физических величин.

 

Дифференциальное уравнение

 

ay + by +су = FQ(t) = FQ sin Ω t

Период                  T=1/f

Угловая частота ω = 2 πf.

Синусоидальное колебание y = y sin ωt

 

Собственные колебания (FQ = 0)

 

Логарифмический декремент (рис. «Свободные колебания и демпфирование» ):

Λ = ln(yn/yn+1) = πb /  (ca — b2/4)

Коэффициент затухания δ = b/2a

Декремент D = δ / ω0 = b/2 √ca    ,

D = Λ/ √(Λ2+4π2)≈ Λ/2π (низкая степень демпфирования).

Угловая частота незатухающих колебаний (D = 0): ω0 = √c/a .

Угловая частота затухающих колебаний (0<D<1): ωd  =  ω0 √ (1-D2) .

При D⩾ 1 колебания отсутствуют, только медленное перемещение.

 

Вынужденные колебания

 

Величина функции передачи:

y/fQ = 1/(c-aΩ2)2 + (bΩ)= 1/c(1-(Ω/ω0)2)+ (2DΩ/ω0)2

Резонансная частота fg = f0√1-2D2 <f0,

Острота резонанса Q= 1/(2D√1-D2),

Резонансная частота fg ≈ f0 (при D ⩽ 0,1),

Острота резонанса Q≈ 1/2D, (при D ⩽ 0,1)

Ширина резонансного пика половинной энергии Δf =2Df0 = f0/Q .

 

Ослабление вибрации

 

Гашение вибраций

 

Стандартизованная передаточная функцияЕсли демпфирование вибраций может быть вы­полнено между машиной и местом, в наимень­шей степени подверженным их воздействию, то это обеспечит наибольший уровень затухания (при наибольшем декременте, см.рис. «Стандартизованная передаточная функция».

 

Виброизоляция

 

Пример HTML-страницы

Активная виброизоляция

 

Машина должна устанавливаться на опору таким образом, чтобы силы, передающиеся на нее, были незначительными.

Необходимо выбирать опору так, чтобы кон­струкция находилась вне резонанса, и ее соб­ственная частота была бы ниже самой низкой возмущающей частоты. Затухание ухудшает виброизоляцию. Слишком низкие значения затухания могут привести к трудностям, вызванным резонансом во время разгона машины (рис. «Виброизоляция» ).

Виброизоляция2

Пассивная виброизоляция

 

Машина должна монтироваться таким образом, чтобы вибрация и тряска на опорах передава­лись механизмам в незначительной степени.

Принимаемые меры аналогичны случаю с ак­тивной изоляцией. Во многих случаях, гибкая подвеска или усиленное демпфирование непри­менимы. Для предотвращения возникновения резонанса, крепление машины должно быть та­ким жестким, чтобы собственная частота была намного больше самой высокой частоты воз­буждения, которая может возникнуть (рис. «Виброизоляция» ).

 

Поглощение вибраций

 

Гаситель колебаний с фиксированной собственной частотой

 

При настройке собственной частоты fT по­глощающей массы с гибким соединением без потерь на частоту возбуждения, вибрация основной массы полностью поглощается (рис. «Поглощение вибраций» ) и продолжает вибрировать только погло­щающая масса. Эффективность поглощения снижается по мере того, как изменяется частота возбудителя. Затухание препятствует полному поглощению. Однако соответствую­щая настройка частоты гасителя колебаний и декремента оптимального затухания вызывает широкополосное ослабление вибрации, кото­рое остается эффективным при изменении частоты возбудителя.

 

Поглощение вибраций Поглощение вибраций1

Гаситель колебаний с переменной собственной частотой

 

Вращательные колебания с частотами возбуж­дения, пропорциональными частоте вращения (например, порядок уравновешивания ДВС), могут поглощаться с помощью амортизаторов с собственными частотами, пропорциональными частоте вращения (маятник в поле центробеж­ных сил). Поглощение вибраций эффективно при любых скоростях вращения. Поглощение вибраций возможно и для колебательных си­стем (осцилляторов) с несколькими степенями свободы, посредством использования несколь­ких гасителей колебаний.

 

Модальный анализ

 

Динамические характеристики (характе­ристики собственных колебаний) колеба­тельных систем определяются с помощью модального анализа. Он используется в про­ектировании, помимо прочих способов, для оптимизации конструкций с точки зрения колебательных параметров и идентификации проблемных участков, а также в акустике для анализа шумов, порождаемых конструкцией изделия).

Колебательная конструкция, которая, представляя собой сплошную среду, имеет бесконечно много степеней свободы, заменяется в явном виде конечным числом одно­массовых генераторов колебаний. Созданная таким образом модальная модель конструк­ции описывается модальными параметрами:

  • Формы собственных колебаний (собствен­ный вектор или мода);
  • Собственные частоты (собственные зна­чения);
  • Соответствующие модальные параметры демпфирования.

 

Необходимым условием является не изме­няющаяся во времени линейно-эластичная структура. Любое колебание структуры может быть искусственно воссоздано по известным характеристическим векторам и значениям. Тем не менее, колебания наблюдаются лишь в ограниченном числе точек из возможных направлений колебаний (степеней свободы) и в определенных частотных интервалах.

Еще более детальный процесс совмещения субструктур объединяет, например, модаль­ные модели различных структур в одну об­щую модель.

 

Числовой модальный анализ

 

Для выполнения аналитического модального анализа необходимо знать геометрию модели, свойства материала и граничные условия. Осно­вой числового модального анализа является многочастичная система или конечноэлемент­ная модель конструкции. Из этого вычисляются собственные значения и собственные векторы решением задачи на собственные значения.

Числовой модальный анализ выполняется без прототипа конструкции и может использоваться уже на ранних стадиях разработки. Однако часто точных знаний о фундаментальных свойствах конструкции (демпфирование, граничные усло­вия) не хватает, и это означает, что модальная модель иногда бывает ошибочной. Кроме того, ошибка является неидентифицируемой. Одним из решений данной проблемы служит коррек­тировка модели с использованием результатов экспериментального модального анализа.

 

Экспериментальный модальный анализ

 

Для экспериментального модального ана­лиза необходим прототип конструкции. Анализ основывается на измерениях передаточных функций. С этой целью конструкция либо возбуждается в одной точке в заданном диапазоне частот, и колебательные отклики измеряются в нескольких точках, либо она возбуждается последовательно в нескольких точках, и колебательные отклики всегда из­меряются в одной точке. Формы собственных колебаний округлых дисковМодальная модель выводится из матрицы функций передачи, которые определяют данную модель. В ка­честве средства возбуждения используется импульсный молот или электродинамический «вибратор». Отклик измеряется с по­мощью датчиков ускорения или лазерного виброметра.

Экспериментальный модальный анализ также может применяться для подтверж­дения результатов числового анализа. За­тем могут быть выполнены имитационные расчеты на достоверной числовой модели. В расчетах вычисляется ответная реакция структуры на определенное возбуждение, соответствующее, например, условиям лабо­раторного опыта.

Посредством структурных модификаций (изменения массы, затухания или жесткости) динамическое поведение может быть опти­мизировано до уровня, соответствующего действующим условиям. При сравнении мо­дальных моделей, полученных при помощи обоих способов, окажется, что аналитический модальный анализ более точен, чем экс­периментальный, за счет большего числа сте­пеней свободы. Это, в частности, позволяет проводить расчеты, основанные на модели.

Формы собственных колебаний по резуль­татам модального анализа могут быть отра­жены в графическом или анимационном виде (примеры на рис. «Формы собственных колебаний округлых дисков» ). Различные уровни се­рого показывают перемещение вертикально по плоскости проекции. Частичное искрив­ление дисков является результатом данных перемещений.  

 

 

РЕКОМЕНДУЮ ЕЩЁ ПОЧИТАТЬ:

Пример HTML-страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.